漸進符號 Asymptotic Notation
日常生活中，你會如何描述處理事情的效率？
「原來她五分鐘內可以吃掉一頭牛！」
「房間這麼小你還能擺一堆雜物？還不快收拾！」
這些描述方法，著重在處理事情的花費時間，或單位空間內的儲存量。描述演算法的效率也如此，就是「測量演算法的執行成本」，例如這個排序法花了 10 秒鐘跑完兩萬筆資料，或是這個模擬演算法很吃資源需要 32 GB 的記憶體。
然而，在不同的機器規格、環境溫濕度、程式語言、實作方式，以及有沒有放乖乖的變異影響下，相同演算法的執行成本常常不一致。為了消弭這些外部因素，讓分析演算法能夠更科學化。科學家抽絲剝繭，發明一個方法：
「統計演算法內所需操作步驟的數目。」
這是最簡單，最粗淺比較不同演算法效率的作法。
用數學表示演算法效率
「計算步驟數目」很像中小學的數學題目：某公司有三個能力相異的工程師，有的工程師一天解決一個 bug，有的工程師連續工作後效率大幅滑落。每個工程師的除蟲效率可以畫成「bug 數 - 解決 bug 所需時數」函數，橫軸為待處理的臭蟲數，縱軸為解決臭蟲所需時數，如圖一與表所示。
| 時數 | $\log N$ | $N$ | $N \log N$ |
|---|---|---|---|
| $N=5$ | 2.236 | 5 | 8.046 |
| $N=30$ | 5.477 | 30 | 102.036 |
不論從圖或表，我們都可以明確看出，當 bug 數目小時，每個工程師耗時差不多；當 bug 數目成長到一定程度時，效率好與效率差的工程師差距就很明顯了。
我們把場景拉回演算法的範疇，再闡明一次。上述的除蟲效率函數關係，可以簡單視為為「輸入資料量 - 運算成本」關係之函數。例如 $f(x)=x^2+3x+6$。當輸入資料量增大時，成本也隨之上升，這個用來描述演算法執行成本與輸入資料量之關係的函數，我們稱之為該演算法的「複雜度」。
何謂漸進符號
了解每個演算法的時間複雜度之後，就能比較何者效率佳。但往往天不從人願，給了我們兩個演算法進行比較。
$$f(x)=\sqrt{\frac{182777}{286}}\pi x^4+5\log_{3}^{26}88x^3-e^{777^{log_2^9}}$$
$$g(x)=3x^6-2x^2$$
「天啊！這樣要怎麼分析執行效率呀！」
為了有統一的加薪標準，我們不能假定產品只會產生特定數量的臭蟲，也不能以單一天的工作表現判定員工能力，我們知道老舊系統有無限多個 bug，因此，優秀的老闆關心的是工程師長期處理「海量臭蟲」，在極限下的成長趨勢，這些成長趨勢才是衡量 KPI 的關鍵。再次強調，優秀老闆關心如何榨出是工程師的「極限成長趨勢」，而非一時半刻賣弄學識。
同樣地，有太多因素干擾影響一個演算法的複雜度，假使我們只觀察當輸入資料量 $n$ 接近無窮大時，演算法的成長趨勢為何，就很接近所謂漸進符號（asymptotic notation）的定義。漸進符號 只關心演算法在極限下的漸進行為，不同的演算法可能使用相同的漸進符號表示。
我們比較兩個簡單函數，$f(x) = 10x + 29$ 以及 $g(x) = x^2 + 1$。從圖二可以看出一開始 $g(x)$ 的執行時間比 $f(x)$ 多了不少，但隨著輸入資料量 $n$ 增多，$g(x)$ 的執行時間成長愈來愈快速，最後遠遠大於 $f(x)$。
若以 $an^2 + bn + c$ 表示複雜度，就是當存在一個 $a > 0$ 時，一定會有 $n$ 符合 $an^2 > bn + c$，這個差距隨著 $n$ 越大越明顯，這是因為首項（leading term），也就是帶有最高指數的那一項，隨著 輸入大小改變，執行時間變化幅度較大。因此，可捨去複雜度函數中其他較不重要的次項與常數，留下最大次項，「透過簡單的函數來表述函數接近極限的行為」,讓複雜度函數更易理解，這就是「漸進符號」的概念。
這裡介紹常見的幾種漸進符號：
$O$：Big O
當我們談論演算法複雜度時，通常關心的是演算法「最糟糕的情況下」，「最多」需要執行多久。Big O 就是描述演算法複雜度上界的漸進符號，當一個演算法「實際」的複雜度（或執行成本對輸入資料量函數）為 $f(n)$ 時，欲以 Big O 描述其複雜度上界時，必須滿足以下定義：
$$f(n) = O(g(n)) \colon {\exists k>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\ |f(n)| \leq k \cdot g(n)}$$
假設有一演算法實際複雜度為 $f(n) = 3n + 4$，有一組 $k = 4;\ g(n) = n;\ n_0 = 4$ 滿足
$$\forall n > 4,\ 0 \leq f(n) = 3n + 4 \leq 4n$$
意思是「$f(n)$ 的複雜度上界成長趨勢最終不會超過 $g(n) = 4n$ 」，再代入 $O(g(n))$，可得演算法最差複雜度為 $f(n) = O(n)$，也就是「該演算法的成長趨勢不會比 $g(n)$ 來得快」（見圖三）。
再多看一個例子，若 $f(n) = 4n^2 + n$ 有一組 $k = 5;\ g(n) = n^2;\ n_0 = 5$ 滿足
$$\forall n > 5,\ 0 \leq f(n) = 4n^2 + n \leq 5n^2$$
則此函數的複雜度為 $f(n) = O(n^2)$。
注意：也寫作 $f(n) \in O(g(n))$，因為實際上 $O(g(n))$ 是所有可描述演算法成長趨勢，並滿足上述條件的函數之「集合」。
$\Omega$：Big Omega
相較於 Big O 描述演算法成長趨勢的上界，Big Omega 則是對應成長趨勢的「下界」，定義如下：
$$f(n) = \Omega(g(n)) \colon {\exists k>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\ |f(n)| \geq k \cdot g(n)}$$
以 $f(n) = 3n + 4$ 為例，有一組 $k = 2;\ g(n) = n;\ n_0 = 0$ 滿足上式，因此這個演算法在輸入資料夠大時，「至少」會達到 $\Omega(n)$ 的複雜度，也就是「該演算法的成長趨勢不會比 $g(n)$ 來得慢」。
$\Theta$：Big Theta
Big Theta 則是 Big O 與 Big Omega 兩個漸進上下界所夾出的範圍，表示該演算法在輸入資料夠大時，最終的複雜度會成長到這個範圍中。其定義如下：
$$f(n) = \Theta(g(n)) \colon {\exists k_1>0\ \exists k_2>0\ \exists n_0\ \forall n>n_0\ k_1 \cdot g(n) \leq |f(n)| \leq k_2 \cdot g(n)}$$
繼續以 $f(n) = 3n + 4$ 為例，同樣有一組 $k_1 = 1;\ k_2 = 5;\ g(n) = n;\ n_0 = 2$，滿足
$$\forall n \geq 2,\ n \leq f(n) = 3n + 4 \leq 5n$$
可得知，$f(n) = 3n + 4 \in \Theta(n)$，表示「該演算法的成長趨勢與 $g(n) = n$ 相同」（見圖四）。
常見的複雜度
看完了讓人昏昏欲睡的數學定義，現在來認識一些常見的複雜度，從最快最有效率，到最慢最拖台錢的通通一起認識。
- $O(1)$：常數時間，演算法執行時間與資料量毫無瓜葛。例如讀取 array 首個元素。
- $O(\log n)$：執行時間隨資料量呈對數比例成長。常見的例子是二元搜索（Binary search）。
- $O(n)$：執行時間隨資料量呈線性成長，例如在無序的 array 中尋找特定值。
- $O(n \log n)$：執行時間隨資料量呈線性對數成長，常見的合併排序（Mergesort）的複雜度即如斯。
- $O(n^2)$：執行時間隨資料量呈平方成長，例如一些效率不彰的排序法如氣泡排序（Bubble sort）。
- $O(n^3)$：執行時間隨資料量呈立方成長，常見例子為 naïve 實作的矩陣乘法。
- $O(c^n)$：執行時間隨資料量呈指數成長。
- $O(n!)$：執行時間隨資料量呈階乘成長，大部分情況下，這是非常差勁的複雜度。
若想一窺各種常見演算法的複雜度，可以參考這個最全面的 Big-O Cheat Sheet，圖表非常精美直觀！
再次強調，漸進符號也可以代表其他執行成本如記憶體空間，並不一定代表執行時間。
其他的漸進符號還有 little-o、little-omega 等等，有興趣的朋友可以參考文末的資料。
你可能不適合漸進符號
善用漸進符號，可以讓原本複雜艱澀的實際複雜度，簡化至人類容易理解的簡單數學符號，也讓分析演算法效率更為客觀。但實際上，漸進符號省略了常數項與低次項，僅保留最高次項，這種「漸進行為下」的效能表現，在真實世界中，若輸入資料量不夠大，實際複雜度的低次項係數又比高次項大上許多，很可能這個演算法實際上根本沒辦法使用。
另外，漸進符號僅考慮最差與最佳複雜度，沒有考慮到平均複雜度。舉例來說，Quicksort 最差複雜度為 $O(n^2)$，乍看之下不是很理想，但這種情況非常稀少；其平均複雜度落在 $O(n \log n)$，且其係數相對較低，額外開銷少，自然成為最熱門的排序法之一。
還有，漸進符號也沒有考慮到不同語言、平台的基礎操作開銷，例如實作排序法時，有些語言「比較」兩個元素的開銷比「置換」來得大，實作上就需要盡量減少置換元素。同樣的，CPU 快取也非常容易忽略，一些快速的搜尋法很可能因為不是線性搜尋，沒辦法充分利用 CPU cache，效能不一定理想。
總之，漸進符號只能告訴你「當輸入資料量夠大時，演算法的複雜度表現如何」，並不總是適用每個情境，端看你怎麼使用他。